¿Cuál es la probabilidad de que algo no ocurra? Si un suceso tiene una probabilidad de ocurrir de un 20%, ¿qué probabilidad hay de que no ocurra? Pues un 80%. Entre ambos tienen que sumar 100%. Sencillo.
De igual forma, en tanto por uno, si la probabilidad de que un suceso ocurra es 0,6, la probabilidad de que no ocurra será 0,4. Entre ambos tienen que sumar 1.
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que al tirar un dado no salga el número 5? Sabemos que la probabilidad de sacar un 5 es $1/6$. Por lo tanto, la probabilidad de no sacarlo será:
$$1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$$
De forma general, si tenemos un suceso $A$, podemos definir el suceso contrario como $\overline{A}$. De esta forma, su probabilidad será:
$$P(\overline{A}) = 1 – P(A)$$
Parece una propiedad muy sencilla, casi hasta algo tonta. Sin embargo, en algunas ocasiones nos va a facilitar mucho los cálculos.
Vamos a intentar calcular la probabilidad de que al tirar 3 dados salga al menos un 5 en uno de los dados. Si intentamos ver todas las posibilidades tendríamos muchas:
- Que salga un 5 en el primer dado, pero no en los otros dos.
- Que salga un 5 en el segundo dado, pero no en los otros dos.
- Que salga un 5 en el tercer dado, pero no en los otros dos.
- Que salga un 5 en el primer y segundo dado, pero no en el tercero.
- …
En vez de ver cuáles serían todas las posibilidades y sumar sus probabilidades, vamos a hacer algo mucho más sencillo. Vamos a calcular lo contrario. Vamos a llamar $A$ al suceso de sacar al menos un 5 cuando tiramos 3 dados. Vamos, lo que queremos calcular.
¿Qué es lo contrario de sacar al menos un 5 cuando tiramos 3 dados? No sacar ningún 5. Llamaremos $\overline{A}$ al suceso de no sacar ningún 5 al tirar 3 dados.
Es sencillo calcular esa probabilidad, ya que para que no salga ningún 5 sólo hay una posibilidad: que no salga un 5 en la primera tirada, ni en la segunda, ni en la tercera. Como la probabilidad de que no salga un 5 en un dado es $5/6$, obtendremos:
$$P(\overline{A}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = 0,579$$
Por lo tanto, la probabilidad de sacar al menos un 5 será:
$$P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – 0,579 = 0,421$$
Ejercicios de la probabilidad del suceso contrario
Vamos a resolver el mismo problema que vimos en la unión de sucesos, pero ahora utilizando el suceso contrario:
Ejercicio
Tiramos un dado y lanzamos una moneda al aire. Calcula la probabilidad de que salga un 5 en el dado o salga cara en la moneda.
Solución
Lo contrario de que se cumpla al menos una de ambas cosas (que salga un 5 en el dado o salga cara en la moneda) es que no se cumpla ninguna de la dos (que no salga ni un 5 en el dado ni salga cara en la moneda):
$$P(5 \cup \textrm{cara}) = 1 – P(\overline{5} \cap \overline{\textrm{cara}})$$
Como la tirada del dado y el lanzamiento de la moneda son dos sucesos independientes, podemos calcular la probabilidad de su intersección multiplicando las probabilidades.
$$P(5 \cup \textrm{cara}) = 1 – P(\overline{5}) \cdot P(\overline{\textrm{cara}})$$
La probabilidad de que no salga un 5 en el dado es $5/6$. La probabilidad de que no salga cara en la moneda es $1/2$.
$$P(5 \cup \textrm{cara}) = 1 – \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = 0,583$$
La probabilidad de que suceda al menos una de ambas cosas es $0,583$ (es decir, $58,3\%$). Como era de esperar, el resultado es el mismo que cuando hicimos el ejercicio mediante la probabilidad de la unión.
Con la regla de Laplace, la intersección, la unión y el suceso contrario hemos empezado a calcular las primeras probabilidades. Si el ejercicio es simple lo podemos ver fácilmente, pero cuando el ejercicio es complejo puede ser útil utilizar un diagrama de árbol para calcular las probabilidades.