Distribución de Poisson

Imagina que tenemos una tienda y queremos estudiar cuántos clientes entran cada hora. Tomamos datos durante unos días y observamos que entran, de media, unos 3 clientes cada hora. Sí, parece que no tiene mucho éxito la tienda.

¿Cómo podríamos calcular la probabilidad de que entre un único cliente durante la próxima hora? Con la distribución de Poisson. Utilizaremos la letra griega $\lambda$ (lambda) para el valor de la media (también hay quien utiliza la letra $\mu$). Podemos calcular la probabilidad de que un evento ocurra $k$ veces con la siguiente fórmula:

$$P(X=k) = \dfrac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$$

Recuerda:

$e=2,7182…$

$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

$0! = 1$

Con las siguientes propiedades:

• Esperanza: $\lambda$
• Varianza: $\lambda$
• Desviación típica: $\sqrt{\lambda}$

En nuestra tienda cada hora entran 3 clientes de media, por lo que $\lambda = 3$. Queríamos calcular la probabilidad de que entrase un único cliente durante la próxima hora, por lo que $k = 1$. De esta forma:

$$P(X=1) = \dfrac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} = 0,149$$

Cambiar la unidad de tiempo

Quedan 4 horas para que cierre la tienda. Vamos a calcular la probabilidad de que vengan 4 clientes antes de que cierre.

En la distribución de Poisson la media siempre está ligada a una unidad de tiempo. Si cambiamos la unidad de tiempo, también cambiará la media de forma proporcional.

Tenemos que calcular la media de clientes que entrarán en la tienda en 4 horas. Como la unidad de tiempo se ha multiplicado por 4, también lo hará por la misma cantidad el número de clientes:

$$\lambda = 3 \quad (\textrm{1 hora}) \implies \lambda = 3 \cdot 4 = 12 \quad (\textrm{4 horas})$$

Una vez ajustada la unidad de tiempo a 4 horas, podemos calcular la probabilidad de que vengan 4 clientes en ese tiempo:

$$P(X=4) = \dfrac{e^{-12} \cdot 12^4}{4!} = 0,005$$

Es importante no cometer el error de creer que «que vengan 4 clientes en 4 horas» es lo mismo a que venga un cliente cada hora. Estaríamos ignorando muchos casos, como que vengan 2 clientes en la primera hora, uno en la segunda, ninguno en la tercera y uno en la cuarta. Entre muchos otros casos.

Error común con Poisson

Es importante no confundir los casos «tres clientes cada hora» con «un cliente cada 3 horas».

• «Tres clientes cada hora»: $\lambda = 3$ (unidad de tiempo: 1 hora).
• «Un cliente cada 3 horas»: $\lambda = 1$ (unidad de tiempo: 3 horas) o, lo que es lo mismo, $\lambda = \dfrac{1}{3}$ (unidad de tiempo: 1 hora).

Si llega un cliente cada 3 horas, es como decir que cada hora llega, de media, un tercio de cliente.

Binomial vs. Poisson

Las distribuciones binomial y Poisson son las más utilizadas en probabilidad discreta. En ocasiones puede ser difícil determinar cuándo usar una y cuándo la otra. Esto se debe a que tienen varias semejanzas:

• Ambas son distribuciones de probabilidad discreta. Por ejemplo, pueden entrar tres, cuatro o diecisiete personas en una tienda, pero nunca 2,56 personas.
• Ambas responden a la misma pregunta: la probabilidad de que un suceso ocurra un número determinado de veces. Por ejemplo, el número de días que ha llovido en una semana o el número de llamadas recibidas en una hora.

Eso sí, también hay diferencias entre ellas:

• Conocemos distinta información. Mientras que en la distribución de Poisson solo conocemos la media (asociada a una unidad de tiempo), en la distribución binomial conocemos el número de veces que se realiza un experimento y la probabilidad de cada experimento.
• La distribución binomial tiene un tope. Si lanzamos una moneda 10 veces, el número de caras es imposible que sea mayor que 10. Sin embargo, si sabemos que una tienda entran unas 10 personas al día, puede que hoy entren siete, cien o incluso mil personas (es poco probable, eso sí).

Esta segunda diferencia quizás sea la más útil para distinguir una distribución de otra.

Ejercicios de la distribución de Poisson

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