En algunas ocasiones es fácil darse cuenta de que dos sucesos son independientes. Por ejemplo, cada tirada de un dado es independiente entre sí. Si el último resultado ha sido un 4, la probabilidad de que salga un 3 en la próxima tirada seguirá siendo $1/6$.
Otras veces es fácil darnos cuenta de que dos sucesos son dependientes entre sí. Por ejemplo, la probabilidad de que un equipo de baloncesto gane un partido dependerá de la calidad de sus jugadores.
Sin embargo, hay ocasiones en las que podemos dudar si existe dependencia o independencia entre los sucesos. Vamos a verlo con un ejemplo.
En una asignatura el 65% de los estudiantes aprueba el examen parcial y un 70% aprueba el examen final. Además, sabemos que hay un 55% de los estudiantes que aprueba ambos exámenes. ¿Existe una dependencia entre aprobar el examen parcial y el examen final o son sucesos independientes?
Vamos a traducir el enunciado a lenguaje matemático. Para ello, vamos a llamar $\textrm{Parcial}$ a aprobar el examen parcial y $\textrm{Final}$ a aprobar el examen final.
- «En una asignatura el 65% de los estudiantes aprueba el examen parcial»: $P(\textrm{Parcial})=0,65$.
- «…y un 70% aprueba el examen final»: $P(\textrm{Final})=0,70$.
- «Además, sabemos que hay un 55% de los estudiantes que aprueba ambos exámenes»: $P(\textrm{Parcial} \cap \textrm{Final})=0,55$.
Hemos visto anteriormente que si dos sucesos son independientes y queremos calcular la probabilidad de que ocurran ambos a la vez (intersección) tenemos que multiplicar la probabilidad de ambos entre sí.
$$\textrm{Si A y B son independientes} \implies P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Por lo tanto, si aprobar el examen parcial es independiente de aprobar el examen final se debería cumplir:
$$P(\textrm{Parcial} \cap \textrm{Final}) = P(\textrm{Parcial}) \cdot P(\textrm{Final})$$
Sin embargo, no se cumple:
$$\left. \begin{array}{c} P(\textrm{Parcial} \cap \textrm{Final}) \\ 0,55 \end{array}\right\} \neq \left\{ \begin{array}{c} P(\textrm{Parcial}) \cdot P(\textrm{Final}) \\ 0,65 \cdot 0,7 = 0,455 \end{array}\right.$$
Por lo tanto, no son independientes. Es decir, existe una dependencia entre aprobar el examen parcial y el examen final. En este caso, es más probable que un alumno apruebe el examen final si ha aprobado el parcial que si lo ha suspendido. De hecho, como ambos sucesos son dependientes se tiene que cumplir:
$$\left. \begin{array}{c} P(\textrm{Parcial} \cap \textrm{Final}) \\ 0,55 \end{array}\right\} = \left\{ \begin{array}{c} P(\textrm{Parcial}) \cdot P(\textrm{Final} \ \vert \ \textrm{Parcial}) \\ 0,65 \cdot P(\textrm{Final} \ \vert \ \textrm{Parcial}) \end{array}\right.$$
Para que se cumpla la fórmula, $P(\textrm{Final} \ \vert \ \textrm{Parcial})$ tiene que valer $0,55/0,65 = 0,846$. Es decir, si un alumno ha aprobado el examen parcial, la probabilidad de que apruebe el examen final será de un $84,6\%$.
Propiedades de la dependencia o independencia de sucesos
También podemos comprobar si más de dos sucesos son independientes entre sí. Por ejemplo, tres sucesos son independientes si cumplen:
$$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$
Podríamos pensar que bastaría con comprobar que los sucesos son independientes dos a dos. Es decir, que $A$ y $B$ sean independientes, que $A$ y $C$ también, al igual que $B$ y $C$. Sin embargo, $A$, $B$ y $C$ podrían no ser independientes entre sí. Veamos un ejemplo.
Ejercicios de la dependencia o independencia de sucesos
Ejercicio
Tenemos un cuadrado y seleccionamos un punto al azar dentro del mismo. Definimos tres sucesos:
- $A$: el punto está en la mitad superior del cuadrado.
- $B$: el punto está en la parte derecha del cuadrado.
- $C$: el punto está en la esquina superior izquierda o en la esquina inferior derecha.
- ¿Son $A$ y $B$ independientes entre sí?
- ¿Son $A$ y $C$ independientes entre sí?
- ¿Son $B$ y $C$ independientes entre sí?
- ¿Son $A$, $B$ y $C$ independientes entre sí?
Solución
Vamos a calcular primero la propabilidad de cada suceso. En los tres sucesos está la mitad del área del cuadrado cubierto, por lo que tendremos:
$$P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{1}{2}$$
A continuación, vemos las las intersecciones dos a dos.
En los tres casos está cubierta una cuarta parte del cuadrado, por lo que tendremos:
$$P(A \cap B) = P(A \cap C) = P(B \cap C) = \dfrac{1}{4}$$
Comprobamos si los sucesos son independientes dos a dos:
- $A$ y $B$ son independientes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- $A$ y $C$ son independientes: $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$
- $B$ y $C$ son independientes: $P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C)$
En los tres casos se cumplen las fórmulas ($1/4 = 1/2 \cdot 1/2$), por lo que los sucesos son independientes dos a dos. Entonces, ¿$A$, $B$ y $C$ son independientes entre sí? No tan rápido.
Los sucesos $A$, $B$ y $C$ son incompatibles entre sí, ya que no se pueden dar a la vez. Por lo tanto, $P(A \cap B \cap C) = 0$. Así que no se cumple la fómula y podemos concluir que $A$, $B$ y $C$ no son independientes.
$$\left. \begin{array}{c} P(A \cap B \cap C) \\ 0 \end{array}\right\} \neq \left\{ \begin{array}{c} P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\ 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \end{array}\right.$$
También podemos usar la relación entre dos sucesos para calcular la probabilidad de cada uno de ellos por separado con el teorema de la probabilidad total.