Probabilidad discreta: función de masa y de distribución

La función de masa de probabilidad (también conocida como función puntual o función de cuantía) asigna una probabilidad a cada posible valor de la variable aleatoria discreta. Por ejemplo, al tirar 3 monedas, el número de caras puede ser 0, 1, 2 o 3. Podemos ver su diagrama de árbol con los posibles resultados y el número de caras.

Todos los resultados son igual de probables, con probabilidad $0,125$ ($0,5^3$). Hay un resultado con cero caras, tres con una cara, tres con dos caras y uno con tres caras. La función de masa asigna la probabilidad a cada posible resultado.

$x_i$	$P(\textrm{NumCaras}=x_i)$
0	0,125
1	0,375
2	0,375
3	0,125
	1,000

¿Qué probabilidad asigna la función de masa a cualquier otro valor distinto de los listados (0, 1, 2 y 3)? Cero. Por ejemplo, es imposible que el número de caras sea 1,2: $P(\textrm{NumCaras}=1,2)=0$

Podemos observar que hay varias cualidades que una función de masa debe cumplir siempre:

• Las probabilidades asignadas son números entre 0 y 1.
• La suma de todas las probabilidades es siempre 1.

También podemos representar la función de masa gráficamente:

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Función de distribución

La función de distribución (también conocida como función de distribución acumulada o función de probabilidad acumulada) se designa con la letra F mayúscula: $F(x)$. En el caso de las monedas, $F(2)$ nos indicará la probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 2. Esta probabilidad incluye tres casos posibles (0, 1 o 2 caras), por lo que sumamos sus probabilidades:

$$\begin{array}{lll}F(2) & = & P(\textrm{NumCaras} \leq 2) \\
& = & P(\textrm{NumCaras}=0) + P(\textrm{NumCaras}=1) + P(\textrm{NumCaras}=2) = 0,875 \end{array}$$

De forma general, tendremos:

$$F(x) = P(\textrm{NumCaras} \leq x)$$

Podemos calcular sus valores realizando el acumulado de la función de masa. Es decir, sumando todos los valores de la función de mesa que tenga por encima en la tabla.

$x_i$	$P(\textrm{NumCaras}=x_i)$	$F(x)$
0	0,125	0,125
1	0,375	0,500
2	0,375	0,875
3	0,125	1,000
	1,000

¿Qué probabilidad asigna la función de masa a cualquier otro valor distinto de los listados (0, 1, 2 y 3)? Veamos un ejemplo. La probabilidad de que el número de caras sea menor o igual a 1,2 es el mismo que el que sea menor o igual que 1: $F(1.2)=F(1)=0,5$

Por lo tanto, la función de distribución es constante, excepto en aquellos valores a los que la función de masa asigna una probabilidad (0, 1, 2 y 3 en este ejemplo), donde tiene saltos crecientes. Se ve mejor al representar la función de distribución gráficamente.

Por lo que podemos definir la función distribución mediante la siguiente fórmula:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \textrm{si } x<0 \\ 0,125 & \textrm{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,500 & \textrm{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,875 & \textrm{si } 2 \leq x < 3 \\ 1,000 & \textrm{si } x \geq 3 \end{array} \right.$$

Podemos observar que hay varias cualidades que posee una función de distribución:

• Toma valores entre 0 y 1.
• La función de distribución tiende a 0 para valores muy pequeños y tiende a 1 para valores muy grandes. Es imposible que el número de caras sea menor o igual a -2, pero es seguro que el número de caras va a ser menor o igual que 500.

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Ejercicios de función de masa y de distribución

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Vamos a ver a continuación cuál sería la media si realizamos el experimento un número elevado de veces (esperanza) y cómo de alejados están los datos respecto a ese valor (varianza y desviación típica).