Distribución binomial

Si lanzamos un dado, sabemos que la probabilidad de obtener un 5 es de $1/6$. Pero, ¿qué pasa si lanzamos 4 dados y queremos calcular la probabilidad de que exactamente uno de ellos sea un 5?

Veamos todas las posibilidades. Para ello, vamos a suponer que lanzamos los dados de uno en uno y no a la vez, ya que esto no va a alterar los probabilidades pero vamos a poder verlo mejor. Si queremos que haya exactamente un 5 en 4 lanzamientos hay varias posibilidades:

• El primer dado sea un 5 y el resto no: $5 \overline{5} \overline{5} \overline{5}$
• El primer dado no sea un 5, el segundo sí y el resto no: $\overline{5} 5 \overline{5} \overline{5}$
• Los dos primeros no sean un 5, el tercero sí y el cuarto no: $\overline{5} \overline{5} 5 \overline{5}$
• Los tres primeros dados no sean un 5, pero sí el cuarto: $\overline{5} \overline{5} \overline{5} 5$

Podemos calcular la probabilidad del primer caso (el 5 está en el primer dado) fácilmente:

$$P(5 \overline{5} \overline{5} \overline{5}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{125}{1296} = 0,096$$

El resto de casos tiene la misma probabilidad, ya que solo cambia el orden de las fracciones a multiplicar. Por lo tanto, la probabilidad de que haya exactamente un 5 al tirar 4 dados será:

$$4 \cdot 0,096 = 0,386$$

Es decir, un $38,6\%$.

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Como hemos visto, todas las combinaciones tienen la misma probabilidad. Por lo tanto, necesitaremos hacer dos cosas para resolver el ejercicio:

1. Calcular la probabilidad de una combinación.
2. Calcular el número de combinaciones posibles.

Vamos a verlo con un ejemplo: obtener exactamente 2 cincos al lanzar 7 dados.

Calcular la probabilidad de una combinación. Tienen que salir 2 cincos (probabilidad $1/6$) y 5 dados en los que salga otra cosa (probabilidad $5/6$). Por lo tanto, cada combinación tiene probabilidad:

$$\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 = 0,011$$

Calcular el número de combinaciones posibles. Necesitamos calcular el número de formas en las que podemos elegir 2 dados de un conjunto de 7 dados. Para ello utilizamos el coeficiente binomial $\dbinom{7}{2}$. De forma general, sabemos que:

$$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

Si queremos elegir 2 dados de 7 en total tendremos 21 combinaciones:

$$\dbinom{7}{2} = \dfrac{7!}{2! \cdot 5!} = \dfrac{5040}{240} = 21$$

Recuerda que $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Ahora ya podemos multiplicar el número de combinaciones por la probabilidad de cada una de ellas:

$$\dbinom{7}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 = 0,234$$

Habrá una probabilidad de $0,234$ de sacar 2 cincos al tirar 7 dados. O, lo que es lo mismo, una probabilidad del $23,4\%$.

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De forma general, vamos a definir una serie de letras:

• $n$: es el número de veces que realizamos el experimento. En nuestro ejemplo, el experimento era lanzar el dado y lo hacíamos 7 veces. Por lo tanto, $n$ era igual a 7.
• $k$: es el número exacto de veces que queremos que suceda algo determinado. En nuestro ejemplo, queremos que salgan 2 cincos. Por lo tanto, $k$ era igual a 2.
• $p$: es la probabilidad de que en un experimento concreto ocurra algo determinado. En nuestro ejemplo, que salga un cinco al tirar un dado. Por lo tanto, $p$ era igual a $1/6$.

Si realizamos un experimento $n$ veces y queremos que ocurra exactamente $k$ veces un suceso que tiene una probabilidad $p$, la probabilidad de que esto ocurra será:

$$(P(X=k) = \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{(n-k)}$$

Con las siguientes propiedades:

• Esperanza: $n \cdot p$
• Varianza: $n \cdot p \cdot (1-p)$
• Desviación típica: $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

También hay quien utiliza la letra $q$ para definir $(1-p)$. Las fórmulas quedan un poco menos largas, pero a cambio se utilizan más letras.

Se entenderá mejor al aplicarlo a algunos ejemplos.

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Ejercicios de la distribución binomial

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En probabilidad discreta hay dos distribuciones muy utilizadas. Una es la distribución binomial, que acabamos de ver. Otra es la distribución de Poisson, que veremos a continuación.