La teoría de la probabilidad es una de las ramas de las matemáticas que más ha crecido en los últimos siglos. En relativamente poco tiempo ha pasado de ser un pasatiempo a ser fundamental en nuestro día a día. Veamos cómo fue su azaroso origen.
Tenemos que remontarnos al siglo XVII. El escritor francés Antoine Gombaud, más conocido como el Caballero de Méré, era un gran aficionado a los juegos de azar. Tanto, que se animó a escribir a una carta al matemático Blaise Pascal para ver si le podía echar una mano con sus apuestas. Pascal, a su vez, escribió a su colega Pierre de Fermat para tratar estos problemas por correspondencia.
Estos dos matemáticos franceses se centraron en dos juegos de azar que sentarían las bases de la teoría de la probabilidad.
Como hemos comentado, el Caballero de Méré era un gran aficionado a los juegos de azar. Concretamente, había dos juegos de dados a los que solía apostar:
- Tirar un dado 4 veces y apostar si iba a salir un 6 en alguna de las 4 tiradas.
- Tirar 2 dados a la vez 24 veces y apostar si iba a salir un 6 doble (un 6 en ambos dados) en alguna de las 24 tiradas.
Según su razonamiento ambos juegos deberían ser equivalentes. Sin embargo, tras apostar muchas veces había observado que solía ganar dinero con el primer juego (apostando que sí saldría algún 6) y perder con el segundo (apostando que sí saldría algún 6 doble).
La probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado es $1/6$, mientras que la probabilidad de obtener un 6 doble al tirar dos dados a la vez es $1/36$. Él pensaba, erróneamente, que como el primer caso era 6 veces más probable, había que jugar 6 veces más al segundo juego para que fuese equivalente: 4 tiradas con un dado y 24 tiradas ($6 \cdot 4$) con dos dados.
¿Serías capaz de calcular la probabilidad de ambos juegos?
Ejercicio
Calcula la probabilidad de obtener al menos un 6 al tirar un dado 4 veces.
Solución
Vamos a llamar $A$ al suceso de que salga al menos un 6 en 4 tiradas de un dado. Si intentamos ver todas las combinaciones posibles, vemos que hay muchas posibilidades:
- Que salga un 6 en la primera tirada y no en las otras.
- Que salga un 6 en la segunda y en la cuarta tirada y no en las otras.
- …
Para evitar tener que explorar todas las combinaciones, vamos a calcular la probabilidad de lo contrario. Lo contrario de que salga al menos un 6 es que no salga ninguno (y lo llamaremos $\overline{A}$). Ahí solo hay una posibilidad: que no salga en la primera, ni en la segunda, ni en la tercera ni en la cuarta tirada. La probabilidad de que no salga un 6 en una tirada es $5/6$. Como el resultado de cada tirada es independiente de las otras, multiplicamos las probabilidades.
$$P(\overline{A}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 0,482$$
Esa es la probabilidad de que no salga ningún 6 en las 4 tiradas. Por lo tanto, la probabilidad de que salga algún 6 será:
$$P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – 0,482 = 0,518$$
La probabilidad es $0,515$ (es decir, $51,8\%$). Al ser mayor que un $50\%$, es rentable apostar a favor de que salga al menos un 6 en 4 tiradas de un dado.
Ejercicio
Calcula la probabilidad de obtener al menos un 6 doble (un 6 en ambos dados) al tirar 2 dados 24 veces.
Solución
Vamos a llamar $B$ al suceso de que salga al menos un 6 doble en 24 tiradas de dos dados. Si intentamos ver todas las combinaciones posibles, vemos que hay muchas posibilidades:
- Que salga un 6 doble en la primera tirada y no en las otras.
- Que salga un 6 doble en la tercera, en la quinta y en la séptima tirada y no en las otras.
- …
Para evitar tener que explorar todas las combinaciones, vamos a calcular la probabilidad de lo contrario. Lo contrario de que salga al menos un 6 doble es que no salga ninguno (y lo llamaremos $\overline{B}$). Ahí solo hay una posibilidad: que no salga en ninguna tirada. La probabilidad de que salga un 6 doble en una tirada es $1/6 \cdot 1/6 = 1/36$, por lo que la probabilidad de que no salga un 6 doble en una tirada es $35/36$. Como el resultado de cada tirada es independiente de las otras, multiplicamos las probabilidades.
$$P(\overline{B}) = \dfrac{35}{36} \cdot \dfrac{35}{36} \cdot … \cdot \dfrac{35}{36} = \left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} = 0,509$$
Esa es la probabilidad de que no salga ningún 6 doble en las 24 tiradas. Por lo tanto, la probabilidad de que salga algún 6 doble será:
$$P(B) = 1 – P(\overline{B}) = 1 – 0,509 = 0,491$$
La probabilidad es $0,491$ (es decir, $49,1\%$). Al ser menor que un $50\%$, no es rentable apostar a favor de que salga al menos un 6 doble en 24 tiradas de dos dados.
El segundo problema que planteó el Caballero de Méré es bastante interesante y nos va a hacer pensar un poco más.
Dos jugadores (A y B) tiran una moneda varias veces. Si sale cara, A se lleva un punto. Si sale cruz, el punto va para el jugador B. Entre los dos han apostado 64 euros (32 euros cada uno). El primer jugador que llegue a 5 puntos se lleva todo el dinero.
Empiezan a jugar. Sin embargo, antes de que ninguno haya llegado a los 5 puntos se ven obligados a detener la partida. En ese momento el jugador A lleva 4 puntos, por 3 puntos de su rival. ¿Cómo deberían repartirse el dinero?
Una respuesta habitual es que deberían repartirse el dinero de forma proporcional a los puntos que llevan. Como van 4-3, el jugador A se llevaría $4/7$ de los 64 euros ($4/7 \cdot 64 = 36,57$ euros) y el jugador B se llevaría $3/7$ del total ($3/7 \cdot 64 = 27,43$ euros). Sin embargo, este razonamiento hace aguas cuando examinamos otras posibilidades:
- Si van 2-1 al interrumpir la partida (a poca distancia entre ellos y ambos lejos de llegar a los 5 puntos), ¿tiene sentido que el primero se lleve el doble de dinero que el segundo?
- El reparto sería el mismo si el juego se interrumpe cuando van 2-1 que si se interrumpe cuando van 4-2 (con más distancia entre ellos y el primero a punto de llegar a los 5 puntos).
- Si el juego se interrumpe cuando van 1-0, el primero se llevaría todo el dinero.
Tiene más sentido pensar cuál es la probabilidad de llegar a 5 puntos antes que su rival y, en función de ello, repartir el dinero. ¿Serías capaz de calcularlo?
Ejercicio
Dos jugadores (A y B) juegan a cara o cruz. El primero que gane 5 veces se lleva 64 euros. Interrumpen la partida cuando van 4 a 3. ¿Cómo deberían repartirse el dinero?
Solución
Cuando se interrumpe la partida, el primer jugador va ganando 4 a 3 a su rival. Realicemos un diagrama de árbol para ver todas las combinaciones hasta que uno de los dos llega a 5 puntos y la probabilidad de cada una de las opciones.
La única opción que tiene el jugador B de llegar a 5 puntos antes que su rival es acertar dos veces seguidas. Como cada lanzamiento de la moneda es independiente, multiplicamos las probabilidades.
$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} = 0,25 = 25\%$$
El jugador B tiene un 25% de probabilidad de ganar, por lo que el jugador A tiene un 75%. Si utilizamos estas probabilidades para el reparto, el jugador A se llevaría $0,75 \cdot 64 = 48$ euros, por $0,25 \cdot 64 = 16$ euros de su rival.
Estos dos juegos de azar o acertijos sirvieron para asentar las bases de toda la teoría de la probabilidad que hemos visto hasta ahora. En estos dos problemas, como en todos los que hemos visto hasta ahora, nos hemos centrado en sucesos independientes (cada tirada de un dado o cada lanzamiento de una moneda no depende de los resultados que hayan salido antes). Es turno ahora de pasar a ver la probabilidad condicionada de sucesos dependientes.