Sabemos calcular fácilmente la probabilidad de que al lanzar un dado salgo un resultado concreto. Pero, ¿qué pasa si lanzamos varios dados a la vez? Vamos a intentar calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados salga un 5 en ambos.
Para que sea más sencillo calcularlo, vamos a suponer que lanzamos los dados uno por uno. ¿Cambia la probabilidad si los lanzamos a la vez o uno por uno? No. Da exactamente igual y no influye en el resultado.
Para conseguir sacar un 5 en los dos dados, necesitamos que el resultado de la primera tirada sea un 5 y el de la segunda tirada también. Cuando queremos que ocurra una cosa y otra a la vez, lo escribimos con el símbolo $\cap$:
$$\{\textrm{5 en la primera tirada}\} \cap \{\textrm{5 en la segunda tirada}\}$$
Empecemos con la primera tirada. Como hay 6 resultados posibles y solo uno favorable, la probabilidad de sacar un 5 será $1/6$ (regla de Laplace).
Vamos a ver qué pasa con la segunda tirada. ¿El resultado de la primera tirada influye en algo en la segunda? No. Da igual lo que haya salido antes. Cada vez que tiramos el dado la probabilidad de cada resultado será siempre $1/6$, independientemente de los resultados anteriores. Por lo tanto, las dos tiradas son sucesos independientes.
¿Y cómo calculamos la probabilidad de que pasen ambas cosas? Pues muy fácil. Simplemente tenemos que multiplicar las probabilidades. Si A y B son sucesos independientes, entonces se cumple:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Por lo tanto, la probabilidad de sacar un 5 en ambas tiradas (que sabemos que son independientes) será:
$$P(\textrm{sacar 5} \ \cap \ \textrm{sacar 5}) = P(\textrm{sacar 5}) \cdot P(\textrm{sacar 5})$$
Por lo tanto, la probabilidad será:
$$\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36} = 0,028 =2,8\%$$
Ejercicios de la probabilidad de la intersección (sucesos independientes)
Repasemos los conceptos de sucesos independientes y del cálculo de la probabilidad de una intersección mediante unos problemas sencillos:
Ejercicio
Tiro un dado 10 veces y veo que el número 4 no ha salido en ninguna tirada. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4 en la próxima tirada?
Solución
Cada tirada es independiente, por lo que da igual lo que haya pasado en las tiradas anteriores. Por lo tanto, la probabilidad será $1/6$.
Ejercicio
He tirado un dado 100 veces y en todas ellas el resultado siempre ha sido un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 5 en la próxima tirada?
Solución
Teóricamente debería de ser $1/6$, aunque yo empezaría a sospechar de que el dado esté trucado, la verdad.
Ejercicio
Tiramos un dado y lanzamos una moneda al aire. Calcula la probabilidad de que salga «cara» en la moneda y un 5 en el dado.
Solución
Como son sucesos independientes, calculamos cada probabilidad por separado y después las multiplicamos:
$$P(\textrm{cara}) = \dfrac{1}{2}$$
$$P(5) = \dfrac{1}{6}$$
$$P(\textrm{cara} \cap 5) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} = 0,083$$
Por lo tanto, la probabilidad será $0,083$ o, lo que es lo mismo, un $8,3\%$.
Hemos visto cómo calcular la probabilidad de que pasen dos cosas a la vez (intersección) cuando ambos sucesos son independientes. Ahora veremos cómo calcular la probabilidad de que pase una u otra (o ambas a la vez) con la unión de sucesos.