Cuando lanzamos una moneda al aire tenemos dos posibles resultados: cara o cruz. O bien sale uno, o bien el otro. Si lanzamos una moneda varias veces, esperamos que el número de veces que sale cara sea similar al número de veces que sale cruz. Por lo tanto, la probabilidad de ambas opciones será la misma. Tenemos que repartir el total (100%, o 1 en tanto por uno) entre ambas opciones. Por lo tanto, la probabilidad de que salga cara será de un 50% (o 0,5 en tanto por uno), la misma que la probabilidad de que salga cruz.
Al lanzar un dado pasa algo parecido, pero con la diferencia de que un dado tiene 6 resultados posibles. Por lo tanto, habrá que dividir 1 entre 6. O, si queremos el resultado en tanto por ciento, dividir 100% entre 6. De esta forma, la probabilidad de que al tirar un dado salga un 5 es:
$$\dfrac{1}{6} = 0,167 = 16,7\%$$
Es la misma probabilidad que la de que salga un 2, de que salga un 3 o de que salga cualquier otro número.
Sigamos con el ejemplo del dado. Ahora vamos a calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga un número par. A diferencia de antes, ahora hay 3 resultados posibles que cumplen que el resultado sea un número par: que salga un 2, un 4 o un 6. Hemos visto antes que la probabilidad de cada una de estas opciones era de $1/6$. Como ahora nos vale cualquiera de las tres, la probabilidad de que salga un número par será la suma de las tres opciones:
$$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = 0,5 = 50 \%$$
Esta idea que acabamos de utilizar se puede definir como la regla de Laplace y nos permite calcular la probabilidad de un suceso «A», que escribiremos como P(A):
$$P(A)=\dfrac{\textrm{Número de casos favorables}}{\textrm{Número de casos totales}}$$
Volviendo al caso anterior, para que salga un número par hay 3 casos favorables (2, 4 o 6) de 6 casos totales (1, 2, 3, 4, 5 o 6). Por lo tanto, la probabilidad de que al tirar un dado salga un número par es $3/6$.
¿Podemos utilizar esta regla para calcular todas las probabilidades? Lamentablemente no. ¿Por qué? Veamos un ejemplo en el que no se cumple. Si yo juego a la lotería puedo decir que hay dos posibles resultados: que me toque o que no me toque. Hay dos opciones, pero la probabilidad de ambas no es un $50\%$. Una lástima, porque de ser así me tocaría la lotería la mitad de las veces que juegue.
¿Entonces dónde está la clave? Para poder usar la regla de Laplace es necesario que todas las opciones tengan la misma probabilidad. Si no es así, no se puede utilizar.
Volviendo al caso de la lotería. Si yo estoy jugando el número 42.123 y sé que en el sorteo hay 100.000 números posibles, entonces hay sólo un caso favorable de 100.000 casos totales. Como todos los números tienen la misma probabilidad de resultar ganadores, entonces la probabilidad de que gane la lotería será:
$$P(\textrm{ganar}) = \dfrac{\textrm{Favorables}}{\textrm{Totales}} = \dfrac{1}{100\,000} = 0,00001$$
Es decir, un $0,001\%$. ¡Vaya! Casi que debería dejar de confiar en que me toque algún día.
Ejercicios de la regla de Laplace
Veamos unos ejercios:
Ejercicio
Calcula la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda al aire.
Solución
Hay un caso favorable (que salga cara) de dos totales (que salga cara o que salga cruz). Ambos casos tienen la misma probabilidad, por lo que podemos usar la regla de Laplace:
$$P(\textrm{cara}) = \dfrac{1}{2} = 0,5 = 50\%$$
Ejercicio
Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado el resultado sea un número primo.
Solución
Lo primero que necesitamos es saber qué números son primos y cuáles no. Recuerda que el 1 no es primo, por lo que los únicos números primos que hay en un dado son el 2, el 3 y el 5. Como todos los resultados del dado tienen la misma probabilidad de salir, podemos usar la regla de Laplace:
$$P(\textrm{primo}) = \dfrac{3}{6} = 0,5 = 50\%$$
Ejercicio
Calcula la probabilidad de que al tirar un dado de 20 caras, el resultado sea 15 o más.
Solución
Hay 6 resultados favorables (15, 16, 17, 18, 19 y 20) de 20 totales. Usamos la regla de Laplace, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad de salir:
$$P(\textrm{15 o más}) = \dfrac{6}{20} = 0,3 = 30\%$$
Calcular la probabilidad: enfoque frecuentista
Imagina que vas a hacer un viaje a Ciudad de México y no sabes muy bien qué cosas llevar en la maleta. ¿Llevo paraguas? Vamos a calcular la probabilidad de que llueva. ¿Cómo lo hacemos? Mirando lo que ha pasado en los años anteriores.
Si miramos la Wikipedia podemos ver que en los últimos años en Ciudad de México ha llovido en torno a 125 días al año. Como un año tiene 365 días, la proporción de días que ha llovido ha sido:
$$\dfrac{125}{365} = 0,342 = 34,2\%$$
Ha llovido el $34,2\%$ de los días (un poco más de 1 de cada 3 días). Así que puedo suponer que esa será la probabilidad de que llueva cada día que esté visitando la ciudad. Si voy a estar varios días casi es mejor que me lleve el paraguas…
Eso sí, podré calcular la probabilidad con mayor precisión si tengo en cuenta el mes. No es lo mismo ir en diciembre, que llueve en torno a dos días al mes ($6,5\%$), que en julio, que llueve unos 24 días al mes ($77,4\%$).
Calcular la probabilidad: enfoque subjetivo
¿Y cómo calculo la probabilidad de que un equipo gane un partido de fútbol? Hay muchos factores a tener en cuenta: contra quién juegan, qué jugadores están lesionados, la racha de ambos equipos, el estado de forma, si se juegan algo importante…
Como son tantos, lo que podemos hacer es fijar nosotros mismos la probabilidad «a ojo» teniendo en cuenta toda la información que conozcamos. De forma similar podemos intuir cuál será la probabilidad de que las acciones de una empresa suban de valor.
Con la regla de Laplace hemos empezado a calcular las primeras probabilidades. Para ello, utilizamos el número de casos favorables y el número de casos totales. Si el problema es simple lo podemos ver fácilmente, pero otras veces necesitaremos combinar varias probabilidades con la intersección de sucesos independientes.